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La conjetura de Goldbach

En 1742, Christian Goldbach le envió una carta al gran Leonhard Euler afirmando que todo número par mayor que 2 podía escribirse como la suma de dos primos; y que todo número impar mayor que 5 se podía representar como la suma de tres.

El planteamiento anterior, está considerado como uno de los problemas más difíciles de las matemáticas a pesar de estar tan sencilla y bellamente planteado. Dicho sea de paso que Euler, receptor de la carta, no consiguió ni demostrar ni refutar la conjetura que le envío Goldbach. Y, aunque no son pocos los matemáticos que han dedicado tiempo desde entonces, nadie ha podido dar respuesta a la conjetura de Goldbach.

 

Veamos, todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos.

4 = 2 + 2

16 = 11 + 5

58 = 53 + 5

1000 = 997 + 3

La conjetura podría ser cierta, pero no existe una demostración que lo acredite. Igualmente, podría ser falsa, pero tampoco existe una demostración de ese hecho, no existe ni un contraejemplo, es decir, un número par que no pueda escribirse como suma de dos números primos.

Así, el enunciado es cierto para una gran cantidad de números, al menos para todos los pares menores que 1018 , mismos que fueron verificados en 1998 por Joerg Richstein, pero por aquí ya sabemos que eso sólo es un “indicio de veracidad” y no sirve como demostración.

Cuando los matemáticos se enfrentan a un problema difícil, suelen aproximarse a un problema de las mismas características pero más accesible. Una manera de relajar la conjetura (fuerte) de Goldbach consiste en considerar representaciones con más de dos sumandos.

¿Es cierto que todo número impar mayor que 5 se puede escribir como suma de tres primos? Desde 2013 sabemos que la conjetura débil de Goldbach es cierta. Esto fue demostrado por el matemático peruano Harald Andrés Helfgott,

Según indican los expertos en teoría de números, las técnicas usadas por Helfgott para demostrar la conjetura débil de Goldbach no parecen ser útiles a la hora de afrontar la demostración de la conjetura fuerte. Una lástima.

Lo cierto es que una multitud de matemáticos han trabajado sobre este problema y lo han atacado con todo tipo de técnicas (tanto básicas como avanzadas) pero la conjetura de Goldbach, casi con toda seguridad, es el problema matemático abierto que más personas “creen” haber demostrado.

 

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