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Curiosidades de los números capicúas

Los números capicúas o palíndromos, son aquellos en los que sus cifras pueden ser leídas de izquierda a derecha o bien, de derecha a izquierda. En ellos, existe la simetría perfecta.

El concepto del número capicúa es sencillo; se puede considerar un número cuyas cifras son dígitos iguales como 333,333,333. O bien, una sucesión de cifras que posteriormente se repiten en sentido contrario 2,467,642 y aunque puede o no repetirse el número central, partiendo de esa premisa, se pueden crear todos los números palindrómicos que queramos.

Sin embargo, esta construcción es cierta si se considera la base en la que se representa, es decir, la base del sistema decimal, base 10. Pero lo mismo no sucede en representación binaria, base 2 que se representa con ceros y unos. Menos aún sucede con la base octal, base 8 que utiliza cifras básicas de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, y 7.

Así, el número capicúa 2,002 deja de serlo al escribirlo en binario: 11111010010; en base 8 quedaría escrito como 3722.

Nuestro sistema decimal viene de la antigua India y en la obra, Ganatasarasamgraha que es el Compendio de la esencia de las matemáticas del año 850, se habla de un cierto número que comienza por uno y aumenta de forma progresiva hasta el 6 para, a continuación, disminuir ordenadamente: 12,345,654,321.

Esta es una familia curiosa de números capicúas ya que puede obtenerse como el cuadrado de los números cuyos dígitos está conformada por unos:

Adicionalmente, si elegimos cada uno de esos palíndromos, se verifica que la suma de las cifras es un número cuadrado:

Otra expresión simétrica en la que se pueden obtener estos peculiares números palindrómicos es mediante la combinación de las dos anteriores:

Ahora bien, existe otra manera curiosa de obtener números simétricos. Tomando un número cualquiera como 17 y sumando su simétrico, 71, se obtiene 88. ¿Qué tal el 75? 75 + 57 = 132, no es palíndromo. Probemos sumarlo con su simétrico: 132 + 231 = 363. ¡Conseguido en dos iteraciones!

Probando con el 86, el simétrico se obtiene en tres pasos. Con el 87, se obtiene en cuatro iteraciones. El 88 ya es capicúa por lo que no se requiere ningún paso, pero el 89 es un número especial que requiere 24 iteraciones.

A continuación, un mapa de los 100 primeros números distribuidos es una matriz cuadrada de 10 x 10, que representa la cantidad de iteraciones necesarias para obtener un número palíndromo:

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